dimecres, de juliol 18, 2007

El Cub de Sierpinski



Imaginem-nos un cub. El seu volum és h x h x h, on h és la longitud d'una de les seves arestes. La seva superfície és h x h x 6. Fins aquí anem bé. Lógicament, però, ara comença la paradoxa. Agafem i dividim cada cara del cub en 9 cubets, com si fos el famós i inacabable cub de Rubik. Agafem el cubet central de cada grup de 9 cubets i ens el mengem, tal i com apareix a la segona imatge començant per l'esquerra de la figura (podem imaginar-nos que el cubet és un tros de formatge de bri, si volem). El volum total del cub s'ha reduït ja que li hem retirat 7 cubets petits, un per cada cara i un central (si volem, seria h x h x h -( (h/3 x h/3 x h/3) x 7) , i els parèntesi no farien falta però així potser encara hi ha algun lector agosarat que segueix el fil). La superfície, però, ha augmentat, hi ha més quantitat del cub original oberta a l'exterior, corresponent a totes les cares internes dels cubets amb què havíem dividit cada cara (seria, a veure si ho faig bé: (h/3 x h/3) x 8 x 6 + (h/3 x h/3) x 4 x 6, i els parèntesi tampoc fan falta ara). Ara agafem cada cubet i el dividim en 9 sub-cubets, i ens mengem el sub-cubet del mig de cada cubet, tal i com es mostra més cap a la dreta. I no cal que ens parem aquí, podem continuar dividint i menjant fins que ens en cansem i quedem ben tips de formatge, trencant cubets i sub-cubets en cubs més i més petits. El resultat és que el volum total de l'estructura tendeix a zero però, en canvi, la superfície total tendeix a infinit. Això és un cub de Sierpinski, també conegut com a una esponja de Menger. El disseny de la Torre Eiffel de París es basa en el mateix principi: màxima resistència estructural amb mínima quantitat de ferro.



El qui hagi arribat a aquest punt es mereix una petita declaració de principis: "Mai més tornaré a llegir un post del Poeta sense abans prendre'm un parell de carejillus".

11 comentaris:

Wadyet ha dit...

Poeta... mmmm... entendi lo q querias decir pero me perdí con tanta h... Algun dia kdamos y me lo explicas con lápiz y papel ehhh! :P

Petonetsssss!!

Poeta per un dia ha dit...

Vaia, que ràpida... llapis i paper... mmmm,... sempre és interessant l'ensenyament "a la vieja usanza".

Petonets!!

Anònim ha dit...

Ostres, una teoria ben interessant. Al principi m'ha costat una mica entendre això de h x h x 4... no sabia pas d'on sortien aquests números. Amb els anys que fa que no toco les mates... això de la geometria no ho tenia pas al dia. Al final, però, crec que ho he entès. Ben curiós, si senyor. Gràcies Poeta per facilitar-nos ampliar la nostra cultura en termes matemàticofilosòfics.
***

Poeta per un dia ha dit...

Pas de quoi.... c'est un plaisir... el problema és que si me'n vaig de l'olla gaire sovint aquest blog començarà a criar fongs i aranyes ja que els posts com aquest darrer són totalment indecorosos i inmenjables. Són petites paranoies matemàtiques, però, que sovint m'assetgen, sobre tot si porten arrelada alguna paradoxa (jo mateix sóc una paradoxa, és a dir, una eterna contradicció).

Apa, ja he parlat prou per avui... me'n vaig a sopar un gaspatxu!! (que això encara puc mastegar-ho, merci beaucoup).

;P
;**

Wadyet ha dit...

Yo es q soy más del metodo antiguo y me gusta ver las cositas escritas en papel para entenderlas... De pqueña, en mi cole, no se estilaba el calculo mental... mmmm :P Por eso ahora cuando me piden q recomiende alguno pongo cara de no entender :S

Petonets Poeta!! :P

Antitot ha dit...

Però la Torre Eiffel no està creada en base no al cub, sinó al triangle de Sierpinski??? Ara potser me'n vaig de la bola, però havia llegit que la torre era en base a un trinagle,nuse...;P

Poeta per un dia ha dit...

Cert i correctíssim, company Antz,... òbviament la Torre Eiffel no és un cub: es tracta del mateix principi però d'una figura geomètrica diferent.

Wadyet, a mi també m'agrada més el paper que la pantalla de l'ordinador, fins i tot més la pissarra tradicional que no pas el projector de diapositives. I, generalment, quan agafo guix i m'embruto les mans i escric, els alumnes solen agraïr-ho (o, si més no, despertar-se, jeje).

Wadyet ha dit...

Jejeje... q imagen!! Todo lleno de tiza jeje :P

Sip... es mucho mejor asi... kda más claro! Sino parece q no entiendas nada o x lo menos yo me siento asi :P

Besitosssssssss!!!!

Poeta per un dia ha dit...

Si Wadyet, és una imatge terrible,... sobre tot quan els segurates de la Renfe em prenen per cocainòman.

^**

La dama que sospira ha dit...

Ostras poeta. De vegades em pregunto com se't podern arrivar a ocòrrer aquestes coses. a mi una cosa aixi no se'm passaria ni pel cap. en fi. a mi no cal que m'ho expliquis amb llapis i paper. puc sobreviure perfectament sense entener-lo. ejejej. petons

Poeta per un dia ha dit...

No és pas que me l'inventi jo el cub de Sierpinski. Dedueixo, i ja em corregireu si vaig errat, que se l'inventà,... el Sierpinski?? Jo només transmeto coneixement adquirit per vies de les meves diverses lectures (la majoria de les quals no transmeten coneixement, sinó que ataquen directament a les vísceres més amagades, a l'ànima i al cor).